如何求解 A * B = C 中的矩阵 B ?

问题

给定一个矩阵方程

其中 $\mathbf{B}$ 是方阵, $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 的形状相同,问如何求解 $\mathbf{B}$ ?

解答

$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 的形状相同,如果它们都是方阵,则

但 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 未必是方阵,所以不存在逆矩阵,也就无法通过等式左右同时左乘 $\mathbf{A}^{-1}$ 的方法直接求出 $\mathbf{B}$ 。那么此时如何求解 $\mathbf{B}$ 呢?

既然 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 不是方阵,那么把它们变换成方阵不就好了吗?因此等式左右共同左乘 $\mathbf{A}^{T}$ ,即可将 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 变换成方阵,即

$\eqref{eq:difficult}$ 即是我们熟悉的形式,直接使用 $\eqref{eq:easy}$ 的解法即可解得 $\mathbf{B}$ 。